%\section*{Le  temps des  cartes}
Au la fin du 
\textsc{xvii}\ieme{} siècle, la cartographie connaît un
développement spectaculaire: utilisant des techniques nouvelles il
devient possible de réaliser des cartes avec une précision jamais
atteinte. Deux pays, la France et la Chine vont ainsi cartographier
leur territoire entier. La carte de la France a été réalisée à la
demande de Colbert; en Chine la carte a pu être réalisée grâce à un
transfert de connaissances depuis la France  par  des missionnaires
jésuites, et parce qu'un contexte 
politique favorable s'était établi. En retour les connaissances sur la
Chine on fait un bon en avant, non sans poser des questions sociales,
politiques et religieuses en France. C'est aussi le début d'une grande époque de
\textit{sinomania} en Europe.
\section*{En France: Colbert, Cassini, l'Observatoire  et
  l'Académie des Sciences}
L'Académie des Sciences est créée en 1666, l'Observatoire de Paris en
1667.
Le premier directeur de l'observatoire est Jean-Dominique
Cassini. Colbert  fixe deux priorités aux astronomes: 1) résoudre le
problème des longitudes, 2) établir la carte du Royaume.

Bien sûr; les deux problèmes sont liés: si on sait mesurer des
longitudes (et des latitudes) on saura faire des cartes.

\subsection*{Une horloge universelle?}
La différence de longitude entre deux lieux se manifeste uniquement
par la différences des instants de passage au méridien des astres,
comme le soleil par exemple, mesurés sur des horloges
synchronisées. Actuellement, nous disposons d'un temps universel (TU)
et de moyens de synchroniser des horloges à distance, ce qui n'a été
possible que depuis la généralisation de myens de communication
presque instantanés: télégraphe et radio.
 L'heure que nous utilisons dans notre vie quotidienne est définie
par un décalage par rapport à ce temps universel. Rien de tel
n'existait au \textsc{xvii}\ieme{} et au \textsc{xviii}\ieme{} siècle.

L'idée était alors de chercher des événements astronomiques qui
s'observent partout au même instant. Parmi eux les  phénomènes des
satellites de 
Jupiter présentent l'avantage d'être assez fréquents: ce sont des
éclipses quand un des 4 satellites dits \textit{galiléens} (car
découverts par Galilée) passe dans
le cône d'ombre de la planète et des occultations quand il passe
derrière la planète. Si on possède des éphémérides de ces phénomènes,
on peut alors caler une horloge sur l'heure, disons de Paris, puis
mesurer l'heure de   passage au méridien d'astres
(étoiles, soleil), comparer avec leur heure de passage au méridien à
Paris et en 
déduire la longitude du lieu d'observation. Si cette méthode est la
seule qui permette à cette époque de mesurer la longitude d'un lieu
lointain (disons une île qu'on découvre), elle souffre de plusieurs
problèmes: il faut que Jupiter soit visible et bien sûr qu'il fasse
beau temps; elle est inutilisable sur une bateau et elle n'est pas
suffisamment précise pour réaliser la carte d'un pays: les  erreurs
sont facilement de l'ordre d'une dizaine de kilomètres.
\subsection*{La triangulation} C'est une méthode connue depuis
longtemps: ce qui est nouveau, c'est l'application de cette méthode à
un pays entier. Elle est basée sur une formule de trigonométrie
élémentaire: dans un triangle quelconque, d'angles $A$,$B$, $C$
et de cotés $a$, $b$, $c$ (voir la figure \ref{fig:tri1}), on a la relation
\begin{displaymath}
  \frac{a}{\sin A}=  \frac{b}{\sin B}=   \frac{c}{\sin C}. 
\end{displaymath}
(où on a noté $a$, $b$, $c$ les longueurs des cotés).
\begin{figure}[ht]\centering
  \begin{subfigure}{0.4\linewidth}\centering
    \includegraphics[height=4cm]{Images/triang}
    
  \caption{Relations dans un triangle}
  \label{fig:tri1}
\end{subfigure}
%\hfill
\begin{subfigure}{0.4\linewidth}\centering
  \includegraphics[height=4.25cm]{Images/ctrig}
  
  \caption{Chaîne de  triangles}
  \label{fig:ctri}
\end{subfigure}
\caption{Principes de la triangulation}
\label{fig:triangulation}
 \end{figure}

Cette formule permet, connaissant $c$, $A$ et $B$ de calculer les
longueurs des cotés $a$ et $b$ à condition de  disposer de tables  des valeurs
des fonctions trigonométriques, ce qui est le cas au \textsc{xvii}\ieme{}
siècle. On peut aussi, par 
des calculs simples, connaissant  les coordonnées (lattitude et
longitude) des extrémités du
coté $c$, calculer les coordonnées du sommet opposé. La technique
consiste alors à construire de proche en proche des chaînes de
triangles (voir la figure \ref{fig:ctri}).

La mise en pratique à l'échelle d'un pays entier pose quelques
problèmes: 1) le grand nombre de triangles à mesurer et à calculer, 2)
l'influence de la sphéricité de la Terre: l'application de la formule
ci-dessus à des triangles de 30~kms environ (ce qu'on utilise en
pratique) produit à une erreur de 500 mètres environ par triangle, ce qui
n'est pas admissible. Il faut utiliser des formules de trigonométrie
\textit{sphérique}, moins simples et qui demandent plus de calculs.

Notons qu'à l'époque on dispose des précieuses tables de logarithmes:
les logarithmes permettent de transformer les multiplications en
additions et les divisions en soustractions, ce qui accélère
considérablement les calculs.

\subsection*{La carte de Cassini}
On a commencé par la triangulation le méridien de Paris (figure
\ref{fig:triparis}). Ensuite, la triangulation de grandes transversales
(figure \ref{fig:transver}) a permis  de découper le travail en
zones indépendantes. La triangulation de ces  zones permettra d'avoir
plusieurs mesures pour certains sommets de triangles et d'estimer
ainsi les erreurs commises. 
\begin{figure}[h]\centering
 \begin{subfigure}{0.45\textwidth}\centering
   \includegraphics[width=\textwidth]{Images/Méridienne_de_Paris}
   
  \caption{Triangulation du méridien de Paris}
  \label{fig:triparis}
\end{subfigure}
%\hfill
\begin{subfigure}{0.45\textwidth}\centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{Images/1744Cass.jpg}
  
  \caption{Les transversales}
  \label{fig:transver}
\end{subfigure}
\caption{Réalisation de la carte de Cassini \footnotesize{(BnF, Gallica. Domaine public)} }
\label{fig:cartecass}
\end{figure}